赛博女孩，医学/猫/科幻 〇、前言 很多朋友应该都玩过 2014 年的 iPad 年度最佳游戏《纪念碑谷》吧，游戏里面戴帽子的小女孩通过建筑物神奇的视觉错差来闯关。 比如在瀑布这一关里，小女孩通过调整建筑物高低，使瀑布变成循环流动的「永动机」。虽然理智上你认为这是不可能的，但在游戏里它就是这么真实而美妙地发生了。 同样给你这种「迷惑又和谐」的感受的，还有克里斯托弗·诺兰的经典影片《盗梦空间》。 在这个场景里，「前哨者」亚瑟正在梦境中教「筑梦师」阿德里安怎么构建不可能建筑，以困住梦境中的人。后来亚瑟用这种循环向上的楼梯解决了一个敌人。 当你在看杂志或者浏览网页的时候可能会偶遇这样两幅画。 《瀑布》 《上升与下降》 咦，这不就和前面两个场景一模一样吗？ 没错，今天我要讲的就是给无数游戏开发者、电影人还有科学家带来灵感，又名「我数学不好但我会画画」的鬼才艺术家——埃舍尔。 《手持球面镜》，镜子中正是埃舍尔本人 对埃舍尔的作品感兴趣、又不知道如何下手理解的读者，这篇文章或许可以作为一个简单的导读，如果能再结合文章附录推荐的书目一起看，那么这门「埃学」你就拿捏得死死的啦。 一、风景画 《波光粼粼的海》 《意大利南部小镇》 埃舍尔一生创作了很多幅版画作品，有木版、铜版、石版等，其中木版和石版是他主要的创作技法。早期的埃舍尔以创作风景画为主，基本上每年春天他都会和朋友们来一次为期两个月的旅行，所到之处凡是带给他灵感的事物，他都仔细的画下来。 1937 年埃舍尔定居于比利时布鲁塞尔，作品从写实风景走向变形，成为了他作品风格的重要转折点。上面这两幅画就是埃舍尔早期的风景画作品。 《水洼》 《三个世界》 从这两幅画可以看出，埃舍尔逐渐开始展现一些新的思想，他想在二维世界中尽可能地展现更多的空间。 比如《水洼》，有泥土、人的脚印、汽车轮胎压过的痕迹、积水、水面反射的树木和太阳；《三个世界》中湖水是主体，水面有飘落的树叶，另外还反射出树木的倒影，水下还有隐约可见的鱼儿。 二、数学几何体 《三只球 II》 《阳台》 有一段时间埃舍尔很迷恋球体，他画了几幅球面反射和透视的图，比如《三只球 II》他通过三颗球展现了三种不同的立体效果，左边是半透明的玻璃球，中间是反射的镜面球，而右边是一颗纯色球。《阳台》这幅画故意突出了画面中间的阳台和盆栽，整个建筑物呈球形膨胀起来。 作品 《果皮》 除了球体之外，埃舍尔还结合透视关系，画了类似的变体。这幅球形画其实是 4 条丝带缠绕成一个球体，《果皮》是一条丝带缠绕形成的人头，背景是重复变换的云朵。 《双行星》 《引力》 埃舍尔同样很喜欢研究多面体和晶体。《双行星》是两个上下重叠的正四面体，《引力》是星状十二面体，可以看做是正十二面体的每一个面都冒出来一个三角形，同时埃舍尔在每一面都开了一道小门，里面有几只恐龙钻来钻去，有些诡异又有些俏皮。 关于正多面体，这里涉及到一个概念——多面体的欧拉定理。这是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数学关系，在三维空间中多面体欧拉定理可表示为：顶点数 - 棱长数 + 表面数 = 2。 埃舍尔喜欢在正多面体上做文章，通过欧拉定理我们可以推断出一共有 5 种正多面体——四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体。它们也叫作柏拉图立体。 + 正多面体的性质 正多面体的面都必须是相同的正多边形，但是如果我们放松这种限制，就会出现新的多面体类型。 我们仍然要求面是正多边形，但我们允许混合不同类型的多边形。与此同时，我们强加了一个对称性要求，即多面体在每个顶点看起来「相同」。我们称这样的多面体是半正多面体。这也叫作阿基米德立体。 + 阿基米德立体并不是每一面都相同 通过公式我们可以证明，阿基米德立体只有 13 种。 来自百度百科 三、不可能图形 《瀑布》 不可能图形也可以理解成是视觉错觉图，比如这幅《瀑布》，高处的水流往下打在水车上，经过水渠引流之后又重新回到了高处。根据动能定理我们知道，这种「永动机」是不可能发生的，而表现在错觉绘画上，它的秘诀就是彭罗斯三角与彭罗斯台阶。 在《纪念碑谷》中，小女孩通过不可能图形穿过走道 * 彭罗斯台阶模型 * 彭罗斯台阶模型 * 彭罗斯台阶模型 文章开头我用《盗梦空间》的楼梯场景举例子，是为了印证它和埃舍尔的《上升与下降》极高的相似度。这并不是巧合，克里斯托弗·诺兰在采访中就明确表示过他很喜欢埃舍尔的作品，电影很多场景的灵感都来自他的画。 四、透视 《彼岸 II》 《相对性》 通过《彼岸 II》我们可以发现，每个窗户外面都有不同的景色，并且都有不同的透视效果。左侧和正面的窗户外是月球表面和星空，从上面的窗户看去仿佛我们又在俯视月球表面，而下面的窗户看起来我们是在仰望星空。 这是不是又有些似曾相识呢？ 没错，《盗梦空间》又有两处「名场面」。 失重状态下，酒店走廊的每一个面都变成了《彼岸》中的透视面。 折叠城市，是不是很像《相对性》中不同结构的台阶？ 《相对性》这幅画中，三个完全不同的世界构成了一个统一的整体。画中的 16 个小人可以分为 3 组，每一组都生活在不同的世界里。 * 埃舍尔为《相对性》作的草图 五、分形 《方极限》 《鱼和鳞》 分形图是埃舍尔的代表风格，也是本篇文章的重点，它们大致可以分为三种类型： 方块分割类； 螺线类； 双曲圆盘类。 5.1 方块分割类 从《方极限》这幅画可以看出，埃舍尔把一个正方形分割成无限个小的类正方形，在这个基础上进行创作。 * 方极限设计图 这种分形图案我们可以从一个三角形开始理解。 + 等边三角形切割 假如让你用小刀把等边三角形中间切下一个等边三角形出来，就会变成上面这张图。 那如果我们一直重复切下等边三角形，会变成什么样子呢？ + 谢尔宾斯基三角 理论上，只要你的小刀够精准，我们可以切无数个等边三角形下来。这样的图形叫做谢尔宾斯基三角。 同样我们还能创作出谢尔宾斯基地毯。 + 谢尔宾斯基地毯 假如这张图案在 iPad 上面可以无限放大，那么你会发现这些小方块放大之后和整个大地毯是一样的形状。同样可以幻想一下，如果把埃舍尔画的小鱼儿无限放大，依然能看到一模一样的小鱼儿，这就是分形的精髓了。 那我们再来看一个图形。 + 科赫图案 第一步，把一条线段平均分成三条线段，第二步，在中间的线段上绘制一个等边三角形的凸起，第三步要复杂一些，我们需要把图案上的每一条线段都分成三分，把中间那一份都变成等边三角形的小凸起。 最后我们可以得到一个什么样的图案呢？ 我们以一条线段为基础绘制了一幅雪花图案。 如果初始图案不是线段，而是三角形呢？ 这就是有名的科赫雪花了。它的神奇之处在于，雪花可以无限分割下去，当我们放大的时候图案形状依然不变。同样这也是分形的魅力。 而《鱼和鳞》要复杂一些，虽然是方形的画板，但是分割小鱼儿的是一些不规则的曲线而不是直线。 * 《鱼和鳞》设计稿 5.2 螺线类 《旋涡》 这类作品的思路是将圆形分割成相似图案的螺线，其基础图案的网格结构是一系列对数螺线。 在极坐标系 (r, θ) 中，这个曲线可以写为—— 埃舍尔的数学并不好，但是他有别的巧妙方法做出这样的螺线图。 将图中的红色标记点连在一起，就变成了螺线啦 * 《旋涡》草图 这里要提到一种迷人的德罗斯特效应，它是递归的一种视觉形式，是指一张图片的某个部分与整张图片相同，如此产生无限循环。 在《盗梦空间》中，造梦者们还特别就德罗斯特效应引入进梦境设计的理论与实践解说了一番。小李子测试的题目中要求阿德里安制造的迷宫，第三幅符合考试要求的循环圆形也与此有关。另外阿德里安在小李子的梦境中用两块镜子面对面也制造出了这种效果。 这种图案通过软件也可以绘制。 《盗梦空间》既向科学和传奇画家致敬，又融入了克里斯托弗·诺兰自己的想法，不愧是一代神片。 5.3 双曲圆盘类 如果说现在一些自称「女神」、「仙女」、「大帅比」的人都是执著的凡尔赛文学大师，那么历史上有一位被称作「数学王子」的科学家可是实至名归的，这个人就是高斯。 高斯 3 岁就指出父亲账本上的错误，22 岁获得博士学位，25 岁当选院士，还精通多种外语。他一生都享有极高的社会地位和学术地位。但就是这样的科学家，却因为害怕社会压力，直到去世都没有发表出自己的一个重大发现，这就是双曲几何。 我们在中学的时候都学过几何，从一开始学三角形、矩形，到多边形、圆、椭圆……这些都属于欧几里得几何的范畴。 欧几里得这个人设立了 5 条基本公设，后续的所有几何问题都是通过这 5 条公理推导出来的。 给定任意两个点，有唯一的直线经过它们。 任意线段能无限延长成一条直线。 给定任意一个点和一个长度，有唯一的圆，以这个点为圆心，这个长度为半径。 所有直角都全等。 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一侧的内角之和小于两个直角和，则这两条直线必定在这一侧相交。 数学小课堂：你能用上面的 5 条公理证明出三角形的内角和等于 180° 吗？参考答案见本章末尾。 很多年来，数学家都看第五条公设不顺眼，前四条公设都是简单、干脆，唯有最后一条写得拐弯抹角，甚至被认为是“丑陋”的。于是无数数学家前赴后继试图证明欧几里得公设的前四条可以推导出第五条，这样丑陋的第五条就可以不存在了，这其中就包括一位叫罗巴切夫斯基的数学家。 1826 年，在俄罗斯的喀山，罗巴切夫斯基发表了一篇古怪的演讲。在严肃的学术会议上，他突然谈起什么平行线可以相交、三角形内角之和不等于 180° 等等古怪的定理。 罗巴切夫斯基使用的是归谬法，他先假设第五条公设不成立，那么只需要推导出不成立的第五条公设和其他公设有矛盾，那么就能证明第五条公设是多余的了。然而没想到，辛苦一番之后，他惊讶的发现修改后的第五条公设和前四条竟然是相容的。最后他认为，第五条公设不成立并不会将我们引向逻辑上的矛盾，而是发现一个崭新的几何世界。 然而，当时数学界并不看好这个结论，甚至换来一片嘲笑，这也是高斯一直遮遮掩掩不肯发表的原因。包括另一位研究双曲几何的数学家黎曼，直到去世他的研究都没有得到数学界重视。 在黎曼去世 50 年后，爱因斯坦创立了震惊世界的相对论。但是爱因斯坦有物理理论却找不到数学工具来表达它。为此爱因斯坦苦苦思索了三年也没有结果，直到他的一位数学家朋友发现黎曼的著作能完美地表达相对论。 从此学术界才意识到，双曲几何不是疯人的臆想，反倒能揭示世界的真相。 为了能阐释双曲几何，法国数学家庞加莱采用一个模型，将整个平面表现在一个大而有限的圆周之内。从双曲几何的角度看，没有任何一点是在圆上或者圆外的。这类几何图形的所有特性都可以从这个模型中推导出来。 在考克斯特教授的一本书中，埃舍尔发现了一种图案，让他深受触动，继而创作了很多这样的双曲图案。 * 考克斯特教授绘制的双曲圆盘图案 我前面所说的三角形内角和等于 180° 是指平面三角形，也就是欧氏几何空间中。当三角形处于罗巴切夫斯基几何（罗氏几何）中，内角和小于 180°；而在黎曼几何时，内角和大于 180°。 《圆极限 III》 《圆极限 IV 天使与魔鬼》 埃舍尔生前的最后一幅作品《蛇》，可以说是迄今为止最美的双曲圆盘图案。 * 《蛇》草图 《蛇》 参考：怎样证明三角形内角和等于 180°？ 通过延伸三角形的两条边，并把第三条边做一个平移到两条延长边的交点处。依据欧几里得公理我们就可以得出： ∠2 =∠5，∠7 =∠1，∠6 =∠3； 同样，∠1 =∠4，得到∠7 =∠4。 这样，我们就可以得到∠2+∠3+∠4 =180°，从而得出∠5+∠6+∠7 =180°。 六、变形 变形是在上一章分形的基础上，加上一个渐变的过程。 《天与水 I》 《天与水 II》 这两幅画就是变形的基本思路，水中白色的鱼儿，在经历几次变形之后，空白处变成了黑色的鸟儿。上文介绍的《鱼和鳞》也可以归纳到这一类中。 《黑夜与白天》 《黑夜与白天》是变形类的经典之作，这幅画至少涉及了 3 个渐变点：黑天鹅与白天鹅在天空中交织，画面左边的白天也渐渐变成黑夜，往下看，天鹅们又变成了田野。 《邂逅》 变形里面最神奇的要数这幅《邂逅》，从后方浅色的背景我们能看出，黑色和白色小人都镶嵌在壁画里面，可是白色小人顺着圆形台阶走到右边，黑色小人走在左边，最后两人在圆形台阶前方握手。这不仅是二维平面的分形与变形，还有二维世界到三维世界的转变。 《变形 II》 埃舍尔制作变形的技巧日益精湛，这幅《变形 II》是他创作过最大的版画，宽 0.2 米，长 4 米！大家可以仔细观察这幅作品一共变形了几次。 七、无限循环 埃舍尔说：「1960 年，一位英国数学家劝我作一幅表现莫比乌斯带的版画，而那时我对这个东西还几乎一无所知。」 然而后来埃舍尔创作出了一系列非常优秀的拓扑学版画。 《莫比乌斯带 II》 《结》 《莫比乌斯带 II》中这只蚂蚁沿着莫比乌斯带走了一整圈又回到原位，没有跳跃，也没有跨越什么狭窄的边界，这正好表现了莫比乌斯带的一个重要特性：它只有一条边和一个面。我们自己在家也可以利用纸条做一个简单的莫比乌斯带，你还可以试一下，如果用剪刀沿着纸条长轴中线把莫比乌斯带一分为二，会发生什么？会变成两个莫比乌斯带吗？ 今年上映的《信条》中时间逆转的设定和莫比乌斯带也是有相似之处的。主角通过时间逆转装置之后自己依然在正向移动，只是周围的环境变成了逆向，再次通过逆转装置，主角又能回到正向。 图片制作：王弘杨 这里我们再聊聊另一个神奇的东西——克莱因瓶。 克莱因瓶其实是莫比乌斯带的延伸。假设我们不是用纸带而是橡皮泥做成的莫比乌斯带，那么现在这个柔软的带子就可以随意伸展了。 看！一条莫比乌斯带经过卷曲就成了克莱因瓶。虽然说克莱因瓶也只有一个面，但是瓶颈总是要穿过瓶身，在交界的地方形成一个夹角。这要怎么办呢？ 这需要在四维空间里面解决。我们在一张二维的 A4 纸上面画一条莫比乌斯带，中间永远会有一个交叉的点。只是透视原因让我们的眼睛以为它是立体的。 但是当我们在三维世界里面用纸条做一个莫比乌斯带，就不可能有打结的问题了。同样的，三维世界里面存在一个交点的克莱因瓶，在四维空间里面它就可以“打开”了。 关于这个问题的解释，可以看看 b 站的这个视频，8 分钟讲完了关于克莱因瓶的大部分问题。 八、悖论 《手画手》 埃舍尔创造的这幅《手画手》给人以强烈的悖论感：左手认为它正在画右手，但右手认为自己在画左手。直觉表明，这个悖论中包含着深刻的数学原理。 同样有这个问题的还包括「说谎者悖论」。 说谎者悖论由公元前 4 世纪麦加拉学派的欧布里德提出。他问了一个既简单又深奥的问题：如果某人说自己正在说谎，那么他说的话是真还是假？ 如果用文字概括，那就是—— 下面这句话是错的。 上面这句话是对的。 其实我们可以把这个悖论表述成更为简洁的形式，就是「我说的这句话是错的」。这句话的对象是在指向自己。 哲学家罗素在《我的哲学的发展》第七章《数学原理》里说道：「自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出纠正的方法是什么。在 1903 年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑蜜月打断了。」 当时，数学家和哲学家们一致认为，一定可以找到一个形式系统，通过底层逻辑推导来证明整个系统都是不会产生悖论的。这就是《数学原理》的目标。 德国数学家希尔伯特向数学界提出了一个明确的任务：严格地按照罗素和怀特海所描述的方法，证明《数学原理》所定义的系统既是一致的（无矛盾）又是完备的(该系统的理论框架中容纳了每个正确的数论命题)。这就是数学史上著名的希尔伯特纲领。 然而，数学家们一切美好的设想都因为哥德尔的不完备定理而破碎。 哥德尔在 1931 年发表了他的论文《论＜数学原理＞中形式上不可判定的命题及其有关系统 I》。该命题是这样叙述的：对公式的每个 ω 一致的递归类 κ，对应着一个递归的类记号 γ，使得 ν Gen γ 或 Neg（ν Gen γ）都不属于 Flg（κ）（其中ν是γ的自由变量）。 这篇论文彻底推翻了希尔伯持纲领，因为它指出没有一种公理系统可以导出数论中所有的真实命题，除非这种系统是不一致的，即存在着互相矛盾的悖论。 《画廊》 埃舍尔的这幅《画廊》又是一场绝美的悖论演练：究竟是画廊左边的人在看画，还是窗外的女人在看外面的世界呢？ # 画廊的逻辑 * 《画廊》的设计图 这种悖论问题在《星际穿越》中也有体现（诺兰不愧是埃学家），过去的库珀和自己的女儿都接受到了暗号，要么是坐标，要么是摩斯密码，而经历一系列事件后库珀才发现，原来发送信号的人就是自己。那么究竟是他引导过去的自己和女儿去发掘真相，还是过去的库珀靠自己到了超立方体空间中给过去的自己发信号呢？ 哥德尔的论文问世时，世界正处于发展电子计算机的边缘。图灵在计算机科学理论中指出，即使可以设想的最有效的计算机也存在着无法弥补的漏洞。后来人们发现这个结论与哥德尔定理是等价的。于是哥德尔理论的影响便超出数学的疆域而扩展到人工智能及思维的研究。 沃卓斯基姐妹导演的名作《黑客帝国》三部曲的第二部结尾有这么一个场景，尼尔来到了建筑师的办公室（当然这也是母体虚拟出来的），建筑师噼里啪啦说了一堆话，第一遍看的时候云里雾里的，现在再来回味，是不是觉得台词有点蹊跷呢？ 建筑师对尼尔说了这样一番话：真正解你的存在来自母体程式设计中一个错误的方程式，你只是一个异常现象，我尽一切努力都无法从完美的数学公式中完全消除你存在。虽然这是无可避免的错误，但是我早料到了，没让这个错误完全失控。所以你最后还是要回到这里。」 这说的不就是哥德尔不完备定理嘛。 关于悖论和人工智能的问题在《集异壁之大成》这本书里有非常深入的探讨，我就不在这里班门弄斧了，感兴趣的朋友可以去看看这本书。如果你觉得这本 1000 多页的砖头有点唬人，那另一本只有 100 多页的简写版《GEB:一条永恒的金带》就很适合我们这种业余时间少的打工人啦。 九、二维与三维世界的渐变 《蜥蜴》 《魔镜》 接下来两章算是饭后甜点了，主要是欣赏埃舍尔的这几幅画。 第一幅可以看出，白纸上画的是蜥蜴的分形图，结果蜥蜴慢慢来到三维世界，爬过书本、三角尺、多面体之后嚣张地喷了一口热气，接着继续返回自己的画中。 第二幅图同样是平面上的动物逐渐变成三维的，不同的是埃舍尔在画面中央加了一面镜子，让这幅画的透视更加有趣。 包括前面介绍的《邂逅》，白色小人和黑色小人从壁画走上圆形台阶，最后一起握手，也是从二维到三维世界的转变。 十、二维与三维世界的错觉 《龙》 《三只球 I》 最后这个类型有点像是埃舍尔的恶趣味，他故意让观众以为他画的是三维图像，而当你自己观察之后又觉得哪里不对的样子。 比如第一幅《龙》，看起来是一条圆滚滚的龙正在咬自己的尾巴，但你仔细看翅膀和屁股那里就会发现，这是用纸折的小龙，它的身体上有清晰的折痕，并不是真的立体龙。 * 《龙》的设计图 对此，埃舍尔有自己的一番说法： 我们的 3 维空间是我们所知道的唯一真实的存在。2 维空间则和 4 维空间一样虚幻，因为没有一样东西是绝对平的，那怕是最精细地磨平的镜子。但是我们仍然容许这样的约定，墙和纸是平的，甚至还要在这样的平面上来表现空间的假象…… 但是这条龙是多么想成为空间性的，虽然它仍然是完全在平面上。在画着龙的纸上有两个剖面。它以这种方式折叠，在画面上留出两个正方形的开口。这条龙是顽强的，尽管它是 2 维的，仍然设想自己是 3 维的，于是它的头从一个洞里伸出而尾巴则通过另一个洞伸出来。 第二幅《三只球 I》更过分，你一眼看去，最下面是一张平面的圆，中间是半颗球，上面是一颗完整的球。 然后埃舍尔笑嘻嘻地告诉你，这都是纸，不是球。 你只能拍脑袋说：「又被你给忽悠了！」 附录：相关书目 《魔境：埃舍尔的不可能世界》 作者：[荷]布鲁诺·恩斯特 出版社：上海科技教育出版社 《GEB：一条永恒的金带》 作者：[美]侯世达 出版社：四川人民出版社 《哥德尔 艾舍尔 巴赫——集异壁之大成》 作者：[美]侯世达 出版社：商务印书馆 《美丽的数学》 作者：[美]爱德华·沙伊纳曼 出版社：湖南科学技术出版社 《几何原本》 作者：[古希腊]欧几里得出版社：江苏人民出版社 《基本粒子发现简史》 作者：杨振宁 出版社：上海科学技术出版社 《黑洞与空间扭曲》 作者：[美]基普·索恩 出版社：湖南科学技术出版社 【纪录片】埃舍尔https://www.bilibili.com/video/BV1Wt41147hE 文中带 * 号图片来自《魔境：埃舍尔的不可能世界》，带#号图片来自《集异壁之大成》，带 + 号图片来自《美丽的数学》，未注明的图片均来源于网络。 阅读原文
